Spectral Discretization of the Vorticity, Velocity, and Pressure Formulation of the Stokes Problem

We consider the Stokes problem in a square or a cube provided with non standard boundary conditions which involve the normal component of the velocity and the tangential components of the vorticity. We write a variational formulation of this problem with three independent unknowns: the vorticity, the velocity and the pressure. Next we propose a discretization by spectral methods which relies on this formulation and, since it leads to an inf-sup condition on the pressure in a natural way, we prove optimal error estimates for the three unknowns. We present numerical experiments which are in perfect coherence with the analysis. Résumé: Nous considérons les équations de Stokes dans un carré ou dans un cube, munies de conditions aux limites non usuelles portant sur la composante normale de la vitesse et la ou les composantes tangentielles du tourbillon. Nous écrivons une formulation variationnelle de ce problème qui comporte trois inconnues indépendantes: le tourbillon, la vitesse et la pression. Nous proposons une discrétisation par méthodes spectrales construite à partir de cette formulation et, comme elle mène de façon naturelle à une condition infsup sur la pression, nous établissons des majorations optimales de l’erreur pour les trois inconnues. Nous présentons des expériences numériques qui sont parfaitement cohérentes avec l’analyse. 1 Laboratoire Jacques-Louis Lions, C.N.R.S. & Université Pierre et Marie Curie, B.C. 187, 4 place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France. e-mail address: [email protected] 2 Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Tunis, Campus Universitaire, 1060 Tunis, Tunisie. e-mail address: [email protected]